ayberk - istatistik ödevi

soru-1
52’lik bir deste iskambil kâğıdından 1 tek kart çekiliyor. Bu kartın kırmızı veya yüksek (onar) (10, J, Q, K, 1) olması ihtimali nedir?

Çözüm 1 :

1 destede 13 sinek (siyah)

1 destede 13 maça (siyah)

1 destede 13 kupa (kırmızı)

1 destede 13 karo (kırmızı) kağıt vardır.

K: Kırmızı kart olayı,

Y: Yüksek kart olayı olsun.

Destede 26 kırmızı kart var. O halde;

P(K) = 26/52 = 1/2 dir.

Her on üçlük grupta 5 adet yüksek kart var. Toplam 20 yüksek kart var. O halde;

P(Y) = 20/52 = 5/13 dir.

Kırmızı gerçekleşmiş olduğu hallerde yüksek kart gerçekleşme ihtimali (şartlı ihtimal):

P(K∩Y)= P(K) x P(Y)

P(K∩Y)= 20/52 x 1/2 = 10/52

P(K∩Y)=10/52 olur.

K ve Y olaylarından en az birinin gerçekleşmesi ihtimalini

P(AUB) = P(A) + P(B) –P(A∩B) olarak bulmuştuk.

Çekilen kartın kırmızı veya yüksek olması ihtimali:

P(KUY) = P(K) + P(Y) – P(K∩Y) dersek;

P(KUY) = 1/2 + 5/13 – 10/52

P(KUY) = 36/52 bulunur.

Çözüm 2 :

Bu problemi şöyle de çözebiliriz:

K’ nın ve Y’ nin beraberce gerçekleşme hal sayısı = n₁

K gerçekleşsin, Y gerçekleşmesin hal sayısı = n₂

Y gerçekleşsin, K gerçekleşmesin hal sayısı = n₃

K ve Y’ nin gerçekleşmediği hal sayısı = n₄

n₁ = 26 – 16 = 10

n₂ = 26 – 10 = 16

n₃ = 20 – 10 = 10

n₄ = 26 – 10 = 16

∑n=52 olacaktır.

K ve Y’ nin beraberce gerçekleşmesi ihtimali P(K.Y) veya P(K∩Y) şöyle hesaplanıyordu:

P(K.Y) = n₁/ ∑n =10/52

P(K) = (n₁+n₂) / ∑n = (10+16)/52 = 26/52

K’nın gerçekleşmiş olduğu haller de Y’nin gerçekleşmesi ihtimali (şartlı ihtimal);

P(Y/K)= n₁ /(n₁+n₂)=10/(10+16) = 10/26 idi.

P(K.Y) = P(K∩Y) = P(K) . P(Y/K)

P(K.Y) = 26/52 x 10/26 = 10/52

Problemse sorulan kırmızı (K) veya yüksek (Y) kart çekme ihtimali (olaylardan en az birinin gerçekleşmesi ihtimali)

Bu ihtimal;

P(K+Y) veya P(KUY) idi. Bu ise,

P(K+Y) = (n₁+n₂+n₃) / ∑n = (10+16+10) / 52 = 36/52 veya

P(K+Y) = P(K) + P(Y) – P(K.Y)

P(K+Y) = [(n₁+n₂) / ∑n] + [(n₁+n₃) / ∑n] – [n₁ / ∑n]

[(10+16)/52] + [(10+10)/52] – [10/52] = 36/52

soru-2
Yarısı kadından diğer yarısı erkekten oluşan bir grup insan göz önüne alalım. Kadınların %20’si ve erkeklerin %60’ının hasta olduğunu var sayalım. Bu gruptan tesadüfen seçilen bir kişinin kadın veya hasta olma ihtimali nedir?

Çözüm:

Gruptaki bütün insanların sayısı N olsun. K ‘kadın’ ve H ‘hasta’ olanları temsil etsin.

Erkeklerin ve kadınların sayıları ayrı ayrı N/2 olduğundan

Hasta sayısı:

0.20(N/2) + 0.60(N/2)=4.N/10 bulunur.

(N’nın tamsayı ve her şahsın seçilme şansının aynı olduğunu farz sayıyoruz.)

Böylece;

P(K)=1/2, P(H)=4/10,

P(H/K)=20/100 olur.

P(K n Y)=P(K).P(HIK)=[1/2]x[20/100]=[1/10]

Değerini,

P(A U B) )= P(A)+P(B)-(PA n B)

Teoremi

P(K U H) = P(K)+P(H)-(PK n H)

P(K U H)=1/2 + 4/10 – 1/10=8/10 bulunur.

2. Çözüm Şekli:

Grup toplam 100 kişi kadın sayısı=50 erkek sayısı=50 olsun. Hasta kadın sayısı %20 yani 10 ve hasta erkek sayısı %60 yani 30 olsun.

1) K ve H’nin beraberce gerçekleşme hal sayısı=n1

2) K gerçekleşsin H gerçekleşmesin hal sayısı =n2

3) H gerçekleşsin K gerçekleşmesin hal sayısı =n3

4) K ve H’nin gerçekleşmediği hal sayısı =n4

n1 =50*(20/100)=10 hasta kadın sayısı

n2=50*(80/100)=40 sağlam kadınlar

n3=50 – 30=20 sağlam erkekler (K yok, H yok)

K ve H’nin beraberce gerçekleşme ihtimali;

P(K.H)=P(K n H)

Şöyle hesaplanıyordu;

P(K n H)=n1/n=10/100=1/10

(Hasta ve Kadın).

K’nin gerçekleştiği hallerde H’nin gerçekleşmesi ihtimali (şartlı ihtimal)

P(H/K)=n1/(n+n2)=10/(10+40)=1/5

P(H/K)=P(K).P(H/K)

P(H.K)=1/2.1/5=1/10

(Hasta ve Kadın).

Problemlerde, 4. durum H ve K gerçekleşmiyor. 1, 2 ve 3. durumlarda K veya H gerçekleşiyor. O halde;

P(K+H)=P(K U H)=[n1+n2+n3]/n

P(K+H)=[10+40+30]/100=8/10

bulunur...

soru-3
Üç avcı bir tavşana aynı anda birer atış yapıyorlar. Birinci avcının vuruş ihtimali; P(V1)=1/2,

İkincisinin ; P(V2)=1/3, üçüncüsünün; P(V3)=1/4 olsun. Tavşanın vurulması ihtimali nedir?

Çözüm:

1.avcının karavana atış ihtimali : P(K1)=1/2

2.avcının karavana atış ihtimali : P(K2)=2/3

3.avcının karavana atış ihtimali : P(K3)=3/4

Üç avcının beraberce karavana atış yapma ihtimali ;

P(K)=P(K1.K2.K3)=P(K1).P(K2).P(K3)=(1/2).(2/3).(3/4)=1/4

O halde vuruş ihtimali ;

P(V)=1–(1/4)=3/4 olarak bulunur.

soru-4
Bir yazı tura atışı 5 defa tekrarlanırsa arka arkaya tura olayının gerçekleşme ihtimali nedir?

Çözüm:

Atışlar bağımsız olduğuna göre ,

P(T,T,T,T,T)=P(T)*P(T)*P(T)*P(T)*P(T)*P(T)

=(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/32 OLUR